En esta lexía se va a describir los cuerpos bidimensionales, como placas planas que se encuentran contenidos en un plano dado. Se introducen los conceptos que están muy relacionados con la determinación del centro de gravedad de una placa. También se calcularán el área de una superficie de revolución o el volumen de un cuerpo de revolución, que está directamente relacionado con la determinación del centroide, esto por medio de los teoremas de Pappus – Guldinus)

Hasta ahora se ha supuesto que la atracción ejercida por la Tierra sobre un cuerpo rígido podía representarse por una sola fuerza W. Esta fuerza, denominada fuerza de gravedad o peso del cuerpo, debía aplicarse en el centro de gravedad del cuerpo (lexía anterior). De hecho, la Tierra ejerce una fuerza sobre cada una de las partículas que constituyen al cuerpo. En este sentido, la acción de la Tierra sobre un cuerpo rígido debe representarse por un gran número de pequeñas fuerzas distribuidas sobre todo el cuerpo. Sin embargo, en este capítulo se aprenderá que la totalidad de dichas fuerzas pequeñas puede ser reemplazada por una sola fuerza equivalente W. También se aprenderá cómo determinar el centro de gravedad, esto es, el punto de aplicación de la resultante W, para cuerpos de varias formas.

En la primera parte de esta lexía se describen cuerpos bidimensionales como placas planas y alambres que están contenidos en un plano dado. Se introducen dos conceptos que están muy relacionados con la determinación del centro de gravedad de una placa o de un alambre: el concepto de centroide de un área o de una línea y el concepto del primer momento de un área o de una línea con respecto a un eje dado.

También se aprenderá que el cálculo del área de una superficie de revolución o del volumen de un cuerpo de revolución está directamente relacionado con la determinación del centroide de la línea o del área utilizados para generar dicha superficie o cuerpo de revolución (teoremas de Pappus-Guldinus). Además, como se muestra en las siguientes secciones, la determinación del centroide de un área simplifica el análisis de vigas sujetas a cargas distribuidas y el cálculo de las fuerzas ejercidas sobre superficies rectangulares sumergidas, como compuertas hidráulicas y porciones de presas.

En el caso de una placa plana homogénea de espesor uniforme, la magnitud ∆W del peso de un elemento de la placa puede expresarse como:

∆W=γt ∆A

Donde:

γ    = peso específico (peso por unidad de volumen) del material

t     = espesor de la placa

∆A   = área del elemento

En forma similar, se puede expresar la magnitud W del peso de toda la placa como:

W=γtA

Donde:

A  = área total de la placa

Si se emplean las unidades de uso común en Estados Unidos, se debe expresar el peso específico γ  en lb/ft³, el espesor t en pies y las áreas ∆A  y A  en pies cuadrados. Entonces, se observa que ∆W  y W  estarán expresados en libras. Si se usan las unidades del SI, se debe expresar a γ  en N/m³, a t en metros y a las áreas ∆A  y A  en metros cuadrados; entonces, los pesos ∆W  y W  estarán expresados en Newtons.

Si se sustituye a ∆W  y W  en las ecuaciones de momento y se divide a todos los términos entre γt , se obtiene:

Si se incrementa el número de elementos en los cuales se divide el área A y simultáneamente se disminuye el tamaño de cada elemento, se obtiene en el límite:

Estas ecuaciones definen las coordenadas  y  del centro de gravedad de una placa homogénea. El punto cuyas coordenadas son  y  también se conoce como el centroide C del área A de la placa (ver siguiente figura). Si la placa no es homogénea, estas ecuaciones no se pueden utilizar para determinar el centro de gravedad de la placa; sin embargo, estas aún definen al centroide del área.

En el caso de un alambre homogéneo de sección transversal uniforme, la magnitud ∆W  del peso de un elemento de alambre puede expresarse como:

Donde:

γ   = peso específico del material

a    = área de la sección transversal del alambre

∆L  = longitud del elemento

El centro de gravedad de un alambre coincide con el centroide C de la línea L  que define la forma del alambre (ver figura anterior) Las coordenadas  y  del centroide de la línea  se obtienen a partir de las ecuaciones:

La integral  en las siguientes ecuaciones de la sección anterior se conoce como el primer momento del área A con respecto al eje "y"  y se representa con Q_y . En forma similar, la integral  define el primer momento de A con respecto al eje x y se representa con Q_x . Así se escribe:

A partir de las ecuaciones anteriores, se concluye que las coordenadas del centroide de un área pueden obtener se al dividir los primeros momentos de dicha área entre el área misma. Los primeros momentos de un área también son útiles en la mecánica de materiales para determinar los esfuerzos de corte en vigas sujetas a cargas transversales. Por último, a partir de esas ecuaciones, se observa que, si el centroide de un área está localizado sobre un eje coordenado, entonces el primer momento del área con respecto a ese eje es igual a cero. De manera inversa, si el primer momento de un área con respecto a un eje coordenado es igual a cero, entonces el centroide del área está localizado sobre ese eje.

Se pueden utilizar relaciones similares a partir de las ecuaciones anteriores, para definir los primeros momentos de una línea con respecto a los ejes coordenados y para expresar dichos momentos como los productos de la longitud L  de la línea y las coordenadas  y  de su centroide.

Si comparamos las ecuaciones, se observa que los primeros momentos del área A pueden ser expresados como los productos del área con las coordenadas de su centroide:

A partir de las ecuaciones anteriores, se concluye que las coordenadas del centroide de un área pueden obtener se al dividir los primeros momentos de dicha área entre el área misma. Los primeros momentos de un área también son útiles en la mecánica de materiales para determinar los esfuerzos de corte en vigas sujetas a cargas transversales. Por último, a partir de esas ecuaciones, se observa que, si el centroide de un área está localizado sobre un eje coordenado, entonces el primer momento del área con respecto a ese eje es igual a cero. De manera inversa, si el primer momento de un área con respecto a un eje coordenado es igual a cero, entonces el centroide del área está localizado sobre ese eje.

Se pueden utilizar relaciones similares a partir de las ecuaciones anteriores, para definir los primeros momentos de una línea con respecto a los ejes coordenados y para expresar dichos momentos como los productos de la longitud L  de la línea y las coordenadas  y  de su centroide.

Se dice que un área A es simétrica con respecto a un eje BB'  si para todo punto Pdel área existe un punto P'  de esa misma área tal que la línea PP'  sea perpendicular a BB'  y dicha línea está dividida en dos partes iguales por el eje en cuestión (ver figura anterior “a”). Se dice que una línea Les simétrica con respecto a un eje BB'  si satisface condiciones similares.

Cuando un área A o una línea L posee un eje de simetría BB' , su primer momento con respecto a BB'   es igual a cero y su centroide está localizado sobre dicho eje.

Por ejemplo, en el caso del área A de la (ver siguiente figura “b”) la cual es simétrica con respecto al eje y, se observa que para cada elemento de área dA  de abscisa x existe un elemento de área dA'  que tiene la misma superficie y cuya abscisa es -x . Se concluye que la integral en la primera de las ecuaciones es igual a cero y, por tanto, se tiene que Q_y=0 . También se concluye a partir de la primera de las relaciones de las ecuaciones anteriores que x=0 . Por consiguiente, si un área A o una línea L poseen un eje de simetría, su centroide C está localizado sobre dicho eje.

Además, se debe señalar que, si un área o una línea posee dos ejes de simetría, su centroide C debe estar localizado en la intersección de esos dos ejes (ver figura anterior). Esta propiedad permite determinar de inmediato el centroide de áreas como círculos, elipses, cuadrados, rectángulos, triángulos equiláteros u otras figuras simétricas, así como el centroide de líneas que tienen la forma de la circunferencia de un círculo, el perímetro de un cuadrado, entre otros.

Se dice que un área A es simétrica con respecto a un centro O si para cada elemento de área dA de coordenadas x y y existe un elemento de área dA'  de igual superficie con coordenadas  -x  y -y  (ver siguiente figura). Entonces, se concluye que ambas integrales en las ecuaciones anteriores son iguales a cero y que Q_x=Q_y=0

También, a partir de esas ecuaciones, se concluye que , esto es, que el centroide del área coincide con su centro de simetría O . En forma análoga, si una línea posee un centro de simetría O , el centroide de la línea coincidirá con el centro O.

Se debe señalar que una figura con un centro de simetría no necesariamente posee un eje de simetría (figura anterior) y que una figura con dos ejes de simetría no necesariamente tiene un centro de simetría (figura anterior “a”). Sin embargo, si una figura posee dos ejes de simetría que son perpendiculares entre sí, el punto de intersección de dichos ejes es un centro de simetría (figura anterior “b”).

La determinación de los centroides de áreas asimétricas y de líneas y áreas que poseen un solo eje de simetría se estudiará en las siguientes secciones.

En las siguientes figuras, se muestran los centroides de formas comunes de áreas y de líneas.

En muchos casos, una placa plana puede dividirse en rectángulos, triángulos u otras de las formas comunes mostradas en las figuras anteriores. La abscisa  de su centro de gravedad  puede determinarse a partir de las abscisas ₁, ₂, . . . , _n de los centros de gravedad de las diferentes partes que constituyen la placa, expresando que el momento del peso de toda la placa con respecto al eje y es igual a la suma de los momentos de los pesos de las diferentes partes con respecto a ese mismo eje (ver siguiente figura). La ordenada  del centro de gravedad de la placa se encuentra de una forma similar, igualando momentos con respecto al eje . Así, se escribe:

O en forma condensada:

Estas ecuaciones se pueden resolver para las coordenadas  y   del centro de gravedad de la placa.

Si la placa es homogénea y de espesor uniforme, el centro de gravedad coincide con el centroide C  de su área. La abscisa  del centroide del área puede determinarse observando que el primer momento  del área compuesta con respecto al eje y puede expresarse como el producto de   con el área total y como la suma de los primeros momentos de las áreas elementales con respecto al eje y (ver figura anterior). La ordenada  del centroide se encuentra de forma similar, considerando el primer momento Qx del área compuesta. Así, se tiene:

O en forma condensada:

Estas ecuaciones proporcionan los primeros momentos del área compuesta o pueden utilizarse para obtener las coordenadas  y  de su centroide.

Se debe tener cuidado de asignarle el signo apropiado al momento de cada área. Los primeros momentos de áreas, al igual que los momentos de las fuerzas, pueden ser positivos o negativos. Por ejemplo, un área cuyo centroide está localizado a la izquierda del eje y tendrá un primer momento negativo con respecto a dicho eje. Además, al área de un agujero se le debe asignar un signo negativo (ver figura anterior).

Para efectos de comprender mejor este tema, puedes ver el ejemplo 4.1 o el ejemplo 4.2

Ejemplo 4.1       Click aquí  

Ejemplo 4.2       Click aquí  

El centroide de un área limitada por curvas analíticas (esto es, curvas definidas por ecuaciones algebraicas) por lo general se determina evaluando las integrales que aparecen en las ecuaciones anteriores:

Si el elemento de área dA es un pequeño rectángulo de lados dx y dy , la evaluación de cada una de estas integrales requiere una integración doble con respecto a x  y y . También es necesaria una integración doble si se usan coordenadas polares para las cuales dA  es un elemento de lados dr  y r dθ

Sin embargo, en la mayoría de los casos es posible determinar las coordenadas del centroide de un área con una sola integración. Esto se logra seleccionando a dA  como un rectángulo o tira delgada o como un sector circular delgado (ver siguiente figura); el centroide de un rectángulo delgado está localizado en su centro y el centroide de un sector delgado está localizado a una distancia de  a partir de su vértice (como en el caso de un triángulo). Entonces, las coordenadas del centroide del área en consideración se obtienen expresando que el primer momento del área total con respecto a cada uno de los ejes coordenados es igual a la suma (o integral) de los momentos correspondientes de los elementos del área. Representando con  y  las coordenadas del centroide del elemento dA , se escribe:

Si el área A no se conoce aún, ésta también puede calcularse a partir de estos elementos.

Las coordenadas  y  del centroide del elemento del área dA deben expresarse en términos de las coordenadas de un punto localizado sobre la curva que limita al área en consideración. Además, el área del elemento dA  debe expresarse en términos de las coordenadas de dicho punto y de los diferenciales apropia dos. Esto se ha hecho en la figura anterior para tres tipos comunes de elementos; la porción de círculo de la parte c debe utilizarse cuando la ecuación de la curva que limita al área esté dada en coordenadas polares. Deben sustituirse las expresiones apropiadas en las fórmulas anteriores y debe utilizarse la ecuación de la curva que limita al área para expresar a una de las coordenadas en términos de la otra. De esta forma, se reduce a una sola integración. Una vez que se ha determinado el área y han sido evaluadas las integrales en las ecuaciones, estas ecuaciones pueden resolverse para las coordenadas  y  del centroide del área.

Cuando una línea está defınida por una ecuación algebraica, puede determinarse su centroide al evaluar las integrales que aparecen en las ecuaciones anteriores de la sección anterior:

El diferencial de longitud d  debe reemplazarse por una de las siguientes expresiones, dependiendo de cuál coordenada x , y  o θ  se seleccione como la variable independiente en la ecuación utilizada para definir la línea (estas expresiones pueden derivarse con el uso del teorema de Pitágoras):

Después de que se ha utilizado la ecuación de la línea para expresar una de las coordenadas en términos de la otra, se puede llevar a cabo la integración y se pueden resolver las ecuaciones anteriores para las coordenadas  y  del centroide de la línea.

Para efectos de comprender mejor este tema, puedes ver el ejemplo 4.3 o el ejemplo 4.4

Ejemplo 4.3       Click aquí  

Ejemplo 4.4       Click aquí  

Estos teoremas fueron formulados primero por el geómetra griego Pappus durante el siglo III después de Cristo y fueron replanteados posteriormente por el matemático suizo Guldinus o Guldin (1577-1643), se refieren a superficies y cuerpos de revolución. Una superficie de revolución se genera mediante la rotación de una curva plana con respecto a un eje fijo.

Por ejemplo (ver figura anterior), se pue de obtener la superficie de una esfera rotando un arco semicircular ABC  con respecto al diámetro AC ; se puede producir la superficie de un cono rotando una línea recta AB  con respecto a un eje AC  y se puede generar la superficie de un toroide o anillo rotando la circunferencia de un círculo con respecto a un eje que no interseca a dicha circunferencia. Un cuerpo de revolución se genera mediante la rotación de un área plana alrededor de un eje fijo.

Como se muestra en la siguiente figura, se puede generar una esfera, un cono y un toroide rotando la forma apropiada con respecto al eje que se indica.

El área de una superficie de revolución es igual a la longitud de la curva generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centroide de dicha curva al momento de generar la superficie.

Demostración: Considérese un elemento dL de la línea L  (ver figura) que rota alrededor del eje x . El área dA  generada por el elemento dL  es igual a 2πy  dL .

Por tanto, el área total generada por L  es . En la sección anterior se encontró que la integral  es igual a , por tanto, se tiene:

Donde:
: es la distancia recorrida por el centroide de  

Se debe señalar que la curva generatriz no debe cruzar el eje sobre el cual rota; si lo hiciera, las dos secciones, una a cada lado del eje, generarían áreas que tendrían signos opuestos y el teorema no podría aplicarse.

El volumen de un cuerpo de revolución es igual al área generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centroide del área al momento de generar el cuerpo. Demostración: Considérese un elemento dA  del área A , el cual se rota con respecto al eje x  (ver figura). El volumen dV  generado por el elemento dA  es igual a 2πy dA.

Es importante señalar que el teorema no puede aplicarse si el eje de rotación interseca al área generatriz.

Los teoremas de Pappus-Guldinus proporcionan una forma sencilla de calcular las áreas de superficies de revolución y los volúmenes de cuerpos de revolución. En forma inversa, estos teoremas se emplean para determinar el centroide de una curva plana cuando el área de la superficie generada por la curva es conocida o para determinar el centroide de un área plana cuando el volumen del cuerpo generado por el área es conocido.

Para efectos de comprender mejor este tema, puedes ver el ejemplo 4.5, Ejemplo 4.6 o el ejemplo 4.7

Ejemplo 4.5       Click aquí  

Ejemplo 4.6       Click aquí  

Ejemplo 4.7       Click aquí  

El concepto del centroide de un área puede utilizarse para resolver otros problemas distintos a los relacionados con los pesos de placas planas. Por ejemplo, considérese una viga que soporta una carga distribuida; esta carga puede estar constituida por el peso de los materiales soportados directa o indirectamente por la viga o puede ser ocasionada por el viento o por una presión hidrostática. La carga distribuida puede representarse al graficar la carga w  soportada por unidad de longitud (ver figura anterior); esta carga está expresada en N/m o en lb/ft.

La magnitud de la fuerza ejercida sobre un elemento de viga de longitud dx  es dW=w dx  y la carga total soportada por la viga es:

Se observa que el producto w dx  es igual en magnitud al elemento de área dA  mostrado en la figura anterior “a”. Por tanto, la carga W es igual en magnitud al área total A bajo la curva de carga:

Ahora se procede a determinar dónde debe aplicarse, sobre la viga, una sola carga concentrada W, de la misma magnitud W  que la carga distribuida total, si se deben producir las mismas reacciones en los apoyos (ver figura anterior “b”). Sin embargo, debe aclararse que esta carga concentrada W, la cual representa la resultante de la carga distribuida dada, es equivalente a esta última sólo cuando se considera el diagrama de cuerpo libre de toda la viga. El punto de aplicación P  de la carga concentrada equivalente W se obtiene expresando que el momento de W con respecto a un punto Oes igual a la suma de los momentos de las cargas elementales d W  con respecto a O:

O, como dW=w dx=dA  y W=A

Puesto que la integral representa el primer momento con respecto al eje w  del área bajo la curva de carga, ésta puede ser reemplazada por el producto  . Por tanto, se tiene que  donde   es la distancia desde el eje w  hasta el centroide C  del área A  (nótese que dicho centroide no es el centroide de la vida).

En este sentido, una carga distribuida que actúa sobre una viga puede reemplazarse por una carga concentrada, la magnitud de dicha carga es igual al área bajo la curva de carga y su línea de acción pasa a través del centroide de dicha área.

Sin embargo, se debe señalar que la carga concentrada es equivalente a la carga distribuida dada solo en lo que respecta a las fuerzas externas. Esta carga concentrada puede utilizarse para determinar reacciones, pero no debe ser empleada para calcular fuerzas internas y deflexiones.

Para efectos de comprender mejor este tema, puedes ver el ejemplo 4.8

Ejemplo 4.8       Click aquí  

Sin embargo, esta carga también puede expresarse como p dA=pb dx , donde p es la presión manométrica en el líquido y bes el ancho de la placa; por tanto, w=bp . Como la presión manométrica en un líquido es p=γh, donde γ es el peso específico del líquido y h es la distancia vertical a partir de la superficie libre, se concluye que:

w=bp=bγh

Lo cual demuestra que la carga por unidad de longitud w es proporcional a h y, por tanto, varía linealmente con x.

De acuerdo con los resultados de la sección anterior, se observa que la resultante R de las fuerzas hidrostáticas ejercidas sobre un lado de la placa es igual en magnitud al área trapezoidal bajo la curva de carga y su línea de acción pasa a través del centroide C  de dicha área. El punto P de la placa donde se aplica R se conoce como el centro de presión.

A continuación, se consideran las fuerzas ejercidas por un líquido sobre una superficie curva de ancho constante (ver figura anterior “a”). Como la determinación por integración directa de la resultante R de dichas fuerzas podría no ser fácil, se considera el cuerpo libre obtenido por la separación del volumen de líquido ABD  el cual está limitado por la superficie curva AB  y por las dos superficies planas AD  y DB  como se muestra en la figura anterior “b”. Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo libre ABD  son el peso W del volumen de líquido separado, la resultante R₁ de las fuerzas ejercidas sobre AD , la resultante R₂ de las fuerzas ejercidas sobre BD  y la resultante -R de las fuerzas ejercidas por la superficie curva sobre el líquido. La resultante -R es igual y opuesta y tiene la misma línea de acción que la resultante R de las fuerzas ejercidas por el líquido sobre la superficie curva. Las fuerzas W, R₁ y R₂ se pueden determinar mediante los métodos convencionales; una vez que se han encontrado estos valores, la fuerza -R se obtiene al resolver las ecuaciones de equilibrio para el cuerpo libre de la figura anterior “b”.

Entonces la resultante R de las fuerzas hidrostáticas ejercidas sobre la superficie curva se obtienen invirtiendo el sentido de -R.

Para efectos de comprender mejor este tema, puedes ver el ejemplo 4.9

Ejemplo 4.9       Click aquí  

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