Lexia: El teorema del Trabajo y la Energía.

Recordando que: $w = \int_{x_{1}}^{x_{2}} F d x$

Pero de acuerdo con la segunda ley de Newton: $F = m a$

Entonces:

$w = \int_{x_{1}}^{x_{2}} m a d x$

pero $a = \frac{d v}{d t}$

Entonces: $w = \int_{x_{1}}^{x_{2}} m \frac{d v}{d t} d x$

o también: $w = \int_{x_{1}}^{x_{2}} m \frac{d x}{d t} d v$

Pero $v = \frac{d x}{d t}$

O sea que: $w = \int_{v_{1}}^{v_{2}} m v d v$

Para sistemas cerrados (no hay flujo de masa entre el sistema y el entorno):

$w = m \int_{v_{1}}^{v_{2}} v d v$

$w = m * {\frac{v^{2}}{2}}_{v_{1}}^{v_{2}}$

$w = \frac{1}{2} m ({v_{2}}^{2} - {v_{1}}^{2})$

$w = \frac{1}{2} m {v_{2}}^{2} - \frac{1}{2} m {v_{1}}^{2}$

Teorema del trabajo y la energía.

Al término $\frac{1}{2} m v^{2}$ se le llama Energía Cinética (Ec)

Por lo tanto el teorema del trabajo y la energía sería:

$w = E c_{2} - E c_{1} = \frac{1}{2} m {v_{2}}^{2} - \frac{1}{2} m {v_{1}}^{2}$

Presentación paso a paso (opcional) Click aquí

Explicación en video (opcional)

Ejemplo 1. Un bloque de 5 kg se mueve bajo la acción de las fuerzas mostradas en la figura. Si inicialmente está en reposo y el bloque se mueve 6 metros hacia la derecha, calcule su velocidad cuando se ha movido los 6 metros.

Cálculo del trabajo (desarrollado anteriormente) Click aquí

Utilizando el teorema del trabajo y la energía con el valor de trabajo: 112.4 Joules:

$w_{N E T O} = \frac{1}{2} m {v_{f}}^{2} - \frac{1}{2} m {v_{o}}^{2}$

pero la velocidad inicial es cero:

$w_{N E T O} = \frac{1}{2} m {v_{f}}^{2}$

$\frac{2 w_{N E T O}}{m} = {v_{f}}^{2}$

$v_{f} = \sqrt{\frac{2 w_{N E T O}}{m}} = \sqrt{\frac{2 (112.4 J o u l e s)}{5 k g}} = 6.71 m / s$

Nota: observe que las unidades se descomponen y se eliminan los kg, quedando arriba metros cuadrados y abajo segundos cuadrados; al obtener la raíz cuadrada quedarían solo metros arriba y segundos abajo.

$\frac{J}{k g} = \frac{N * m}{k g} = N * \frac{m}{k g} = \frac{k g * m}{s^{2}} * \frac{m}{k g} = \frac{m^{2}}{s^{2}}$

Presentación paso a paso (opcional) Click aquí

Explicación en video (opcional)

Ejemplo 2. Una máquina de Atwood tiene masas de 4kg y 7 kg como se muestra en la figura. Utilice el teorema del trabajo y la energía para calcular la velocidad del sistema cuando éste se ha movido 5 metros.

Cálculo del trabajo (desarrollado anteriormente) Click aquí

Utilizando el trabajo neto obtenido de 147 Joules:

Teorema del trabajo y la energía:

$w_{N E T O} = \frac{1}{2} (m_{1} + m_{2}) {v_{f}}^{2} - \frac{1}{2} (m_{1} + m_{2}) {v_{0}}^{2}$

De nuevo, la velocidad inicial es cero, por lo que el segundo término se va a eliminar (hay que tener cuidado porque si existe una velocidad inicial, hay que pasarlo al otro lado a sumar y la expresión quedaría más compleja).

$w_{N E T O} = \frac{1}{2} (m_{1} + m_{2}) {v_{f}}^{2}$

$\frac{2 w_{N E T O}}{(m_{1} + m_{2})} = {v_{f}}^{2}$

$v_{f} = \sqrt{\frac{2 w_{N E T O}}{(m_{1} + m_{2})}} = \sqrt{\frac{2 (147 J)}{(4 + 7) k g}} = 5.17 m / s$

Presentación paso a paso (opcional) Click aquí

Explicación en video (opcional)

G. 01

_S.M.