Trabajo realizado por un resorte (Ley de Hooke)

Si un resorte se estira o se comprime, la fuerza restauradora (fuerza que tiende a regresar al resorte a su posición de equilibrio) será una fuerza variable que depende de la deformación del resorte. Supongamos una deformación en x:

Cuando el resorte está estirado, la posición x (de estiramiento) se va hacia la derecha, pero la fuerza restauradora o fuerza que tiende a regresar al bloque hacia la posición inicial de equilibrio se dirige hacia la izquierda. Cuando el resorte está comprimido, la posición x (de compresión), va hacia la izquierda, pero la fuerza restauradora que tiende a regresar el resorte a su posición libre o de equilibrio, va hacia la derecha.

Entonces, la ley de Hook establece que la fuerza restauradora es directamente proporcional a la magnitud del estiramiento o compresión del resorte, y en dirección es opuesta a la posición que tiene el extremo del resorte, respecto a su posición de equilibrio.

F= - Kx

Es importante mencionar que esa proporcionalidad se cumple, dentro de los límites de elasticidad del resorte; es decir, siempre que el resorte se estire o se comprima, pero al cesar la fuerza que lo deforma vuelva a su condición original.

Si el resorte después de su compresión o estiramiento sufre deformaciones permanentes, es porque se ha sobrepasado la fuerza que define su límite de elasticidad, y la ley de Hooke deja de cumplirse.

Como la fuerza restauradora del resorte depende de la magnitud del estiramiento o compresión “x”, es una fuerza variable, y por lo tanto, para calcular el trabajo realizado por la fuerza restauradora de un resorte, se aplica la fórmula de trabajo para fuerzas variables:

$w={\int }_{x_1}^{x_2}Fdx$

pero $F=-Kx$

Entonces:

$w={\int }_{x_1}^{x_2}-Kxdx$

$w=-K*{\overline{)\frac{x^2}{2}}}_{x_1}^{x_2}$

$w=-\frac{1}{2}K\left({x_2}^2-{x_1}^2\right)$

$w=-\frac{1}{2}K{x_2}^2+\frac{1}{2}K{x_1}^2$

$w=\frac{1}{2}K{x_1}^2-\frac{1}{2}K{x_2}^2$

Ejemplo:

Un resorte de constante K=8000 N/m, se comprime 4 cm, como se muestra en la figura. Calcule el trabajo realizado por la fuerza restauradora del resorte desde:

a) su compresión máxima hasta su posición de equilibrio

b) su posición de equilibrio hasta su estiramiento máximo

c) su estiramiento máximo a su posición de equilibrio

d) su posición de equilibrio a su compresión máxima.

a) su compresión máxima hasta su posición de equilibrio (B-C)

$x_1=-4cm=-0.04m;x_2=0$

$w=\frac{1}{2}K{x_1}^2-\frac{1}{2}K{x_2}^2$

$w=\frac{1}{2}(8000N/m){(-0.04m)}^2-\frac{1}{2}(8000N/m){\left(0\right)}^2=6.4Joules$

b) su posición de equilibrio hasta su estiramiento máximo

$x_1=0;x_2=4cm=0.04m$

$w=\frac{1}{2}K{x_1}^2-\frac{1}{2}K{x_2}^2$

$w=\frac{1}{2}(8000N/m){\left(0\right)}^2-\frac{1}{2}(8000N/m){(0.04m)}^2=-6.4Joules$

c) su estiramiento máximo a su posición de equilibrio

$x_1=4cm=0.04m;x_2=0$

$w=\frac{1}{2}K{x_1}^2-\frac{1}{2}K{x_2}^2$

$w=\frac{1}{2}(8000N/m){(0.04m)}^2-\frac{1}{2}(8000N/m){\left(0\right)}^2=6.4Joules$

d) su posición de equilibrio a su compresión máxima.

$x_1=0;x_2=-4cm=-0.04m$

$w=\frac{1}{2}K{x_1}^2-\frac{1}{2}K{x_2}^2$

$w=\frac{1}{2}(8000N/m){\left(0\right)}^2-\frac{1}{2}(8000N/m){(-0.04m)}^2=-6.4Joules$

Nota: observe que en los intervalos donde el resorte está empujando al objeto, el trabajo es positivo, mientras que en los intervalos donde lo va deteniendo, el trabajo es negativo.

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