Ejemplo 1: Una fuerza varía según la posición de la partícula como se muestra en la figura. Calcule el trabajo realizado por la fuerza variable:

a) entre x=0 y x=4m

b) entre x=4m y x=10m

c) entre x=10m y x=12m

d) entre x=0 y x=12m

a) Analizando la tendencia A-B:

A(0,0) B(4,20)

$x_1=0;y_1=0;x_2=4;y_2=20$

$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{20-0}{4-0}=5$

Ecuación de la recta:

$y-y_1=m(x-x_1)$

$y-0=5(x-0)$

$y=5x$

Pero "y" en realidad representa a F; entonces:

$F=5x$

Entonces:

$w={\int }_{x_1}^{x_2}Fdx$

$w={\int }_{x=0}^{x=4}5xdx$

$w=5{\int }_{x=0}^{x=4}xdx$

$w=5*{\overline{)\frac{x^2}{2}}}_0^4$

$w=5*(\frac{4^2}{2}-{\frac{0}{2}}^2)$

$w_{A-B}=40Joules$

b) Analizando la tendencia B-C:

A(4,20) B(10,20)

$x_1=4;y_1=20;x_2=10;y_2=20$

$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{20-20}{10-4}=0$

Ecuación de la recta:

$y-y_1=m(x-x_1)$

$y-20=0(x-4)$

$y-20=0$

$y=20$

Pero "y" en realidad representa a F; entonces:

$F=20$

Entonces:

$w={\int }_{x_1}^{x_2}Fdx$

$w={\int }_{x=4}^{x=10}20dx$

$w=20{\int }_{x=4}^{x=10}dx$

$w=20*{\overline{)x}}_4^{10}$

$w=20*(10-4)$

$w_{B-C}=120Joules$

c) Analizando la tendencia C-D:

A(10,20) B(12,0)

$x_1=10;y_1=20;x_2=12;y_2=0$

$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{0-20}{12-10}=-10$

Ecuación de la recta:

$y-y_1=m(x-x_1)$

$y-20=-10(x-10)$

$y-20=-10x+100$

$y=-10x+100+20$

$y=-10x+120$

Pero "y" en realidad representa a F; entonces:

$F=-10x+120$

Entonces:

$w={\int }_{x_1}^{x_2}Fdx$

$w={\int }_{x=10}^{x=12}(-10x+120)dx$

$w={\int }_{x=10}^{x=12}(-10x)dx+{\int }_{x=10}^{x=12}120dx$

$w=-10{\int }_{x=10}^{x=12}xdx+120{\int }_{x=10}^{x=12}dx$

$w={\overline{)\left(-10*\frac{x^2}{2}+120x\right)}}_{10}^{12}$

$w={\overline{)\left(-10*\frac{{\left(12\right)}^2}{2}+120\left(12\right)\right)}}_{10}^{12}-{\overline{)\left(-10*\frac{{\left(10\right)}^2}{2}+120\left(10\right)\right)}}_{10}^{12}$

$w_{B-C}=20Joules$

d) $w_{NETO}=w_{A-B}+w_{B-C}+w_{C-D}$

$w_{NETO}=40Joules+120Joules+20Joules$

$w_{NETO}=180Joules$

Sin embargo, recordemos que la integral definida es el área bajo la curva, por lo tanto, si tenemos la gráfica F-x, el área bajo la curva sería $w={\int }_{x_1}^{x_2}Fdx$.

Significa que, si se calcula con áreas, debe coincidir:

Dividiendo las tres áreas, según los intervalos A-B, B-C, C-D:

$A=A_1+A_2+A_3$

$A=\frac{4X20}{2}+6X20+\frac{2X20}{2}$

$A=40+120+20$

$A=180Joules$

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