Lexia: Principio de Conservación de la Energía.

Ahora que ya conocemos la energía Cinética, Energía Potencial Gravitatoria y Energía Potencial Elástica, vamos a confirmar el concepto de fuerza conservativa.

Dijimos anteriormente que cuando un sistema está bajo la influencia de fuerzas conservativas, la energía del sistema permanece constante a lo largo de una trayectoria.

Si definimos a La Energía Mecánica, como estos tres tipos de energía, diremos que:

$E_{m e c} = E n e r g í a C i n é t i c a + E n e r g í a P o t e n c i a l G r a v i t a t o r i a + E n e r g í a P o t e n c i a l E l á s t i c a$

$E_{m e c} = E_{c} + U_{g} + U_{k}$

Comparando dos momentos A y B en la trayectoria de un sistema, diremos entonces que, en ausencia de fuerzas no conservativas:

$E_{m e c A} = E_{m e c B}$

Es decir:

$E_{c A} + U_{g A} + U_{k A} = E_{c B} + U_{g B} + U_{k B}$

O sea:

$\frac{1}{2} m {v_{A}}^{2} + m g y_{A} + \frac{1}{2} K {x_{A}}^{2} = \frac{1}{2} m {v_{B}}^{2} + m g y_{B} + \frac{1}{2} K {x_{B}}^{2}$

Ejemplo 1. Un objeto de 200 gramos (0.2kg) se suelta desde el punto A desplazándose a lo largo de la pista mostrada sin fricción como lo muestra la figura. Calcule:

a) la rapidez del objeto cuando pasa por la parte más baja de la pista

b) la rapidez del objeto justo antes de chocar con el resorte (K=8000 N/m)

c) la compresión máxima de ese resorte

Solución.

a) Comparemos los momentos A y B:

$\frac{1}{2} m {v_{A}}^{2} + m g y_{A} + \frac{1}{2} K {x_{A}}^{2} = \frac{1}{2} m {v_{B}}^{2} + m g y_{B} + \frac{1}{2} K {x_{B}}^{2}$

En el momento A y B, el resorte no está actuando por lo que la energía potencial elástica en ambos es cero; el objeto se encuentra en reposo y por lo tanto la velocidad en el momento A también es cero. Finalmente, si ubicamos el marco de referencia en la parte más baja de la pista (B), la altura del punto A es 7 metros y la del punto B será cero.

La Ecuación se reduciría entonces:

$m g y_{A} = \frac{1}{2} m {v_{B}}^{2}$

Se puede decir que toda la energía mecánica inicial es energía potencial gravitatoria por la altura que tiene en el punto A; en el punto B toda la energía es cinética porque el objeto lleva una velocidad.

$m g y_{A} = \frac{1}{2} m {v_{B}}^{2}$

$\frac{2 m g y_{A}}{m} = {v_{B}}^{2}$

$2 g y_{A} = {v_{B}}^{2}$

$v_{B} = \sqrt{2 g y_{A}}$

$v_{B} = \sqrt{2 (9.8 m / s^{2}) (7 m)}$

$v_{B} = 11.71 m / s$

b) Para conocer la información de lo que ocurre en el punto C (justo antes de chocar con el resorte), compararemos la energía en A con la energía en B. En realidad, se puede comparar C con cualquier punto donde ya se conoce toda la información (A o B).

$\frac{1}{2} m {v_{A}}^{2} + m g y_{A} + \frac{1}{2} K {x_{A}}^{2} = \frac{1}{2} m {v_{C}}^{2} + m g y_{C} + \frac{1}{2} K {x_{C}}^{2}$

Consideremos los datos siguientes: en A nuevamente la velocidad es cero, y el resorte aun no actúa sobre el bloque. En el punto C, hay energía cinética porque el objeto lleva una velocidad, hay energía potencial gravitatoria porque el objeto está a una altura de 4 metros respecto al punto de referencia (el punto B), y el resorte tampoco ha actuado en ese instante.

$v_{A} = 0; y_{A} = 7 m; x_{A} = 0; v_{C} = ?; y_{C} = 4 m; x_{C} = 0$

Entonces:

$m g y_{A} = \frac{1}{2} m {v_{C}}^{2} + m g y_{C}$

$m g y_{A} - m g y_{C} = \frac{1}{2} m {v_{C}}^{2}$

$m g (y_{A} - y_{C}) = \frac{1}{2} m {v_{C}}^{2}$

$\frac{2}{m} * m g (y_{A} - y_{C}) = {v_{c}}^{2}$

$v_{C} = \sqrt{2 g (y_{A} - y_{C})}$

$v_{C} = \sqrt{2 (9.8 m / s^{2}) (7 - 4) m}$

$v_{C} = 7.67 m / s$

c) Para encontrar la compresión máxima del resorte analizaremos el momento D, en el cual el resorte está totalmente comprimido y el objeto se ha detenido (v=0). Compararemos cualquier momento (A,B o C) con el momento D.

En el caso de nosotros compararemos A con D, pero es indiferente:

$\frac{1}{2} m {v_{A}}^{2} + m g y_{A} + \frac{1}{2} K {x_{A}}^{2} = \frac{1}{2} m {v_{D}}^{2} + m g y_{D} + \frac{1}{2} K {x_{D}}^{2}$

En el momento A ya sabemos que solo hay energía potencial gravitatoria ya que la velocidad del objeto y la compresión del resorte son cero. En el punto D, solo la velocidad es cero porque en el momento de la compresión máxima, el bloque se debe detener:

$m g y_{A} = m g y_{D} + \frac{1}{2} K {x_{D}}^{2}$

$m g y_{A} - m g y_{D} = \frac{1}{2} K {x_{D}}^{2}$

$m g (y_{A} - y_{D}) = \frac{1}{2} K {x_{D}}^{2}$

$\frac{2 m g (y_{A} - y_{D})}{K} = {x_{D}}^{2}$

$x_{D} = \sqrt{\frac{2 m g (y_{A} - y_{D})}{K}}$

$x_{D} = \sqrt{\frac{2 (0.2 k g) (9.8 m / s^{2}) (7 - 4) m}{8000 N / m}}$

$x_{D} = 0.0383 m$

$x_{D} = 3.83 c m$

Presentación paso a paso (opcional) Click aquí

Explicación en video (opcional)

Ejemplo obligatorio con dos objetos Click aquí

G. 01

_S.M.