Lexia: Conservación de la energía. Caso con dos objetos

Una máquina de Atwood se suelta desde el reposo como lo muestra la figura. Encuentre la velocidad del sistema, cuando el bloque de 5 kg impacta con el suelo.

Llamaremos objeto 1 al de 5kg y objeto 2 al de 3.5kg.

Inicialmente tenemos que el objeto 1 está a 2.5 metros de altura, su velocidad es cero y no hay resorte en el sistema; el objeto 2 está en el suelo y también está inicialmente en reposo. Por lo tanto, la energía mecánica en el momento A (que muestra la imagen) sería:

$E_{m e c A} = \frac{1}{2} m_{1} {v_{1 A}}^{2} + m_{1} g y_{1 A} + \frac{1}{2} K {x_{1 A}}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} {v_{2 A}}^{2} + m_{2} g y_{2 A} + \frac{1}{2} K {x_{2 A}}^{2}$

Pero:

$v_{1 A} = v_{2 A} = 0; y_{1 A} = 2.5 m; y_{2 A} = 0; x_{1 A} = x_{2 A} = 0$

Entonces:

$E_{m e c A} = m_{1} g y_{1 A}$

En el momento previo al impacto con el suelo le llamaremos momento B:

Energía potencial elástica no hay porque no hay resorte involucrado; la velocidad de ambos objetos es la misma (por estar unidos por la misma cuerda) solo que el bloque de 5kg se mueve hacia abajo, y el de 3.5kg se mueve hacia arriba; la altura del bloque 1 es cero porque está en el suelo, y la del bloque 2 es de 2.5 metros porque ha subido desde el suelo.

Entonces:

$E_{m e c B} = \frac{1}{2} m_{1} {v_{1 B}}^{2} + m_{1} g y_{1 B} + \frac{1}{2} K {x_{1 B}}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} {v_{2 B}}^{2} + m_{2} g y_{2 B} + \frac{1}{2} K {x_{2 B}}^{2}$

Pero:

$v_{1 B} = v_{2 B} = v_{B} = ?; y_{1 B} = 0; y_{2 B} = 2.5 m; x_{1 B} = x_{2 B} = 0$

Por lo tanto:

$E_{m e c B} = \frac{1}{2} m_{1} {v_{B}}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} {v_{B}}^{2} + m_{2} g y_{2 B}$

Por conservación de la energía:

$E_{m e c A} = E_{m e c B}$

$m_{1} g y_{1 A} = \frac{1}{2} m_{1} {v_{B}}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} {v_{B}}^{2} + m_{2} g y_{2 B}$

$m_{1} g y_{1 A} - m_{2} g y_{2 B} = \frac{1}{2} m_{1} {v_{B}}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} {v_{B}}^{2}$

$g (m_{1} y_{1 A} - m_{2} y_{2 B}) = \frac{1}{2} {v_{B}}^{2} (m_{1} + m_{2})$

$\frac{2 g (m_{1} y_{1 A} - m_{2} y_{2 B})}{m_{1} + m_{2}} = {v_{B}}^{2}$

$v_{B} = \sqrt{\frac{2 g (m_{1} y_{1 A} - m_{2} y_{2 B})}{m_{1} + m_{2}}}$

$v_{B} = \sqrt{\frac{2 (9.8 m / s^{2}) ((5 k g) (2.5 m) - (3.5 k g) (2.5 m))}{(5 + 3.5) k g}}$

$v_{B} = 2.94 m / s$

Nota: Este ejercicio fue resuelto en la evaluación de comprensión lectora en el tema TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA.

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