Para finalizar el estudio de la Cinemática, revisaremos el caso del Movimiento General en el Plano, con aceleración constante.

Para ello, utilizaremos las mismas ecuaciones del movimiento con aceleración constante, pero de manera vectorial:

$\stackrel{\rightharpoonup }{r}=\stackrel{\rightharpoonup }{r_o}+\stackrel{\rightharpoonup }{v_o}t+\frac{1}{2}\stackrel{\rightharpoonup }{a}{t}^2$

$\stackrel{\rightharpoonup }{v}=\stackrel{\rightharpoonup }{v_o}+\stackrel{\rightharpoonup }{a}t$

Ejemplo 1. Una partícula que inicialmente (en t=0) se encuentra en la posición $\stackrel{\rightharpoonup }{r_o}=(6\hat{i}-2\hat{j})m$, y que en ese instante tiene una velocidad de $\stackrel{\rightharpoonup }{v_o}=\hat{I}+3\hat{j}(m/s)$, se acelera a un ritmo constante de $a=-\hat{i}+4\hat{j}(m/s^2)$. Encuentre la posición y velocidad de la partícula en t=3 segundos.

solución.

$\stackrel{\rightharpoonup }{r}=\stackrel{\rightharpoonup }{r_o}+\stackrel{\rightharpoonup }{v_o}t+\frac{1}{2}\stackrel{\rightharpoonup }{a}{t}^2$

$\stackrel{\rightharpoonup }{r}=(6\hat{i}-2\hat{j})m+(\hat{i}+3\hat{j})m/s(3s)+\frac{1}{2}(-\hat{i}+4\hat{j})m/s^2{(3s)}^2$

$\stackrel{\rightharpoonup }{r}=6\hat{i}-2\hat{j}m+3\hat{i}+9\hat{j}-\frac{9}{2}\hat{i}+18\hat{j}$

$\stackrel{\rightharpoonup }{r}=\frac{9}{2}\hat{i}+25\hat{j}\left(m\right)$

También:

$\stackrel{\rightharpoonup }{v}=\stackrel{\rightharpoonup }{v_o}+\stackrel{\rightharpoonup }{a}t$

$\stackrel{\rightharpoonup }{v}=(\hat{i}+3\hat{j})m/s+(-\hat{i}+4\hat{j})m/s^2(3s)$

$\stackrel{\rightharpoonup }{v}=\hat{i}+3\hat{j}-3\hat{i}+12\hat{j}$

$\stackrel{\rightharpoonup }{v}=-2\hat{i}+15\hat{j}(m/s)$

Ejemplo 2. Una partícula se mueve de acuerdo al vector de posición $\stackrel{\rightharpoonup }{r}=5t^3\hat{i}+3t^2\hat{j}$, donde r está en metros y t en segundos. Calcule:

a) La posición, velocidad y aceleración en t=0

b) La posición, velocidad y aceleración en t=2 s

solución.

$\stackrel{\rightharpoonup }{r}=5t^3\hat{i}+3t^2\hat{j}$

$\stackrel{\rightharpoonup }{v}=\frac{d\stackrel{\rightharpoonup }{r}}{dt}=15t^2\hat{i}+6t\hat{j}$

$\stackrel{\rightharpoonup }{a}=\frac{d\stackrel{\rightharpoonup }{v}}{dt}=30t\hat{i}+6\hat{j}$

a) t=0

$\stackrel{\rightharpoonup }{r}=5{\left(0\right)}^3\hat{i}+3{\left(0\right)}^2\hat{j}$

$\stackrel{\rightharpoonup }{r}=0$

$\stackrel{\rightharpoonup }{v}=15{\left(0\right)}^2\hat{i}+6\left(0\right)\hat{j}$

$\stackrel{\rightharpoonup }{v}=0$

$\stackrel{\rightharpoonup }{a}=30\left(0\right)\hat{i}+6\hat{j}$

$\stackrel{\rightharpoonup }{a}=6\hat{j}(m/s^2)$

b) t=2 s

$\stackrel{\rightharpoonup }{r}=5{\left(2\right)}^3\hat{i}+3{\left(2\right)}^2\hat{j}$

$\stackrel{\rightharpoonup }{r}=40\hat{i}+12\hat{j}\left(m\right)$

$\stackrel{\rightharpoonup }{v}=15{\left(2\right)}^2\hat{i}+6\left(2\right)\hat{j}$

$\stackrel{\rightharpoonup }{v}=60\hat{i}+12\hat{j}(m/s)$

$\stackrel{\rightharpoonup }{a}=30\left(2\right)\hat{i}+6\hat{j}$

$\stackrel{\rightharpoonup }{a}=60\hat{i}+6\hat{j}(m/s^2)$

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