Resolver los problemas primario y dual del ejemplo anterior.

Para ambos problemas utilizaremos la metodología Simplex.

Para el primario tendremos que agregar variables de holgura (sumando debido a la desigualdad menor o igual), una por cada restricción, con una contribución a la función objetivo de cero, es decir:

                              Max   Zp = 3 X1 + 4 X2 + 0 H1 + 0 H2 + 0 H3

                    Sujeto a:

                                       X1 + H1 = 5

                                       X2 + H2 = 8

                                       2 X1 + X2 + H3 = 15

                                        Con X1, X2  >  0

Con esto la primera tabla Simplex será:

La cual al aplicarle el Simplex dará para la siguiente iteración:

De aquí al proseguir con la metodología Simplex, se llega a la solución óptima en la siguiente iteración(it), siendo la tabla respectiva la siguiente:

Así la solución es:

H₁ = 1.5

X₂ = 8

X₁ = 3.5

Zp = 42.5

(H₂ = H₃ = 0)

Para el problema dual, las restricciones agregan  una variable de holgura y otra artificial por cada restricción (debido a la desigualdad que es mayor o igual), con esto tendremos:

                    Min         Z_D = 5Y₁ + 8Y₂ + 15Y₃ + 0S₁ + 0S₂ + MA₁ + MA₂

          Sujeta  a las restricciones:

                                       Y₁ + 2Y₃ - S₁ + A₁ = 3

                                       Y₂ + Y₃ - S₂ + A₂ = 4

                                           Con Y₁, Y₂, Y₃ > 0

Con esto, al aplicar la metodología Simplex utilizando M, nuestra primera tabla será:

Si seguimos aplicando la metodología Simplex, nuestra tabla correspondiente para la siguiente iteración es:

Al pasar a la siguiente iteración se llega al óptimo, cuya tabla será:

Cuya solución es:

Y₃ = 1.5

Y₂ = 2.5

Z_D = 42.5

(Y₁ = S₁ = S₂ = 0)

Aquí es significativo que en el punto óptimo ambos problemas dan el mismo valor para la función objetivo, es decir Zp = Z_D = 42.5.

Esta es una de las razones de la importancia del problema dual, el cual al resolverse nos proporciona la solución del primario.

Esta igualdad de las funciones objetivo tiene una explicación, pues Zp es la utilidad que se obtiene por los diferentes tipos de pan y Z_D es el costo incurrido por aplicar los recursos disponibles, de tal forma que en el punto óptimo ambas Z coinciden, dando la situación más adecuada para el negocio.

Otra situación importante que podemos señalar en este problema es que la solución dual puede obtenerse desde la tabla final del primario, pues los coeficientes índices de las variables de holgura en esta tabla son los valores de las variables duales en la solución óptima dual, esto es:

S_1P = 0 = Y₁

S_2P = 2.5 = Y₂

S_3P = 1.5 = Y₃

Asimismo, de la tabla óptima dual podemos obtener la solución primaria al coincidir los coeficientes índices de las variables de holgura duales con los valores óptimos para las variables primarias, esto es:

S_1D = 3.5 = X₁

S_2D = 8 = X₂