Dos vehículos se mueven entre dos pueblos A y B, separados 2 km entre sí. El primero parte del reposo del pueblo A al pueblo B, con una aceleración constante de 1.5 m/s². El segundo viaja del pueblo B al pueblo A con una velocidad constante de 15 m/s. Calcule el momento y el lugar en el que ambos vehículos se encontrarán en el camino.

Solución:

Datos

$x_{oA}=0$

$x_{oB}=2000m$

$v_{oA}=0$

$v_{oB}=-15m/s(vahacialaizquierda)$

$a_A=1.5m/s^2$

$a_B=0$

Planteando la ecuación que define la posición para cada vehículo:

(A: vehículo que inicialmente está en A; B: vehículo que inicialmente está en B)

$x_A=x_{oA}+v_{oA}t+1/2a_A{t}^2$

$x_A=0+\left(0\right)t+1/2(1.5m/s^2)t^2$

$x_A=(0.75m/s^2)t^2$

$x_B=x_{oB}+v_{oB}t+1/2a_B{t}^2$

$x_B=2000m-(15m/s)t+1/2\left(0\right)t^2$

$x_B=2000m-(15m/s)t$

Primero intentando por el método de prueba y ensayo:

si t=20 s:

$x_A=(0.75m/s^2)t^2=(0.75m/s){\left(20s\right)}^2=300m$

$x_B=2000m-(15m/s)t=2000m-(15m/s)\left(20s\right)=1700m$

(el vehículo A está a 300m a la derecha de O; el B está a 1700m de O)

Si t=40 s

$x_A=(0.75m/s^2)t^2=(0.75m/s){\left(40s\right)}^2=1200m$

$x_B=2000m-(15m/s)t=2000m-(15m/s)\left(40s\right)=1400m$

(el vehículo A está a 1200m de O; el B está a 1400m de O).

Como se ve, ya están cerca, solo los separan 200m.

Si t=43 s

$x_A=(0.75m/s^2)t^2=(0.75m/s){\left(43s\right)}^2=1386.75m$

$x_B=2000m-(15m/s)t=2000m-(15m/s)\left(43s\right)=1355m$

(el vehículo A está a 1386.75m de O; el B está a 1355m de O)

Significa que el vehículo A está más lejos de O que el B, y por lo tanto, ya se encontraron en el camino.

Ahora habría que empezar a bajar lentamente el tiempo hasta encontrar el tiempo en el que se encuentran.

(inténtalo, baja ahora de una décima en una décima: 42.9s, 42.8s, etc.)

Sin embargo el mejor proceso sería el siguiente:

En el momento en que se encuentren: $x_A=x_B$

Entonces:

$(0.75m/s^2)t^2=2000m-(15m/s)t$

$0.75t^2+15t-2000=0$

Resolviendo con la fórmula general:

$a=0.75b=15c=-2000$

$t=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$t=\frac{-15\pm \sqrt{{\left(15\right)}^2-4(0.75)(-2000)}}{2(0.75)}$

$t=\frac{-15\pm 78.90}{1.5}$

$t=\frac{-15+78.90}{1.5}=42.6s$

$t=\frac{-15-78.90}{1.5}=-62.6s$ (negativo, descartado)

Por tanto el tiempo en el que se encuentran en el camino será 42.6 segundos después.

¿Donde se encuentran?

$x_A=(0.75m/s^2)t^2=(0.75m/s^2){(42.6s)}^2=1361.07m$

Nota: Compruebe que es el mismo valor si utilizamos la ecuación para $x_B$.

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