Una partícula se mueve a la largo del eje x, de acuerdo con la curva de velocidad contra tiempo que se muestra en la figura. Encuentre el desplazamiento de la partícula entre:

a) t=0 y t=8

b) t=8 y t=20

c) t=20 y t=24

Solución

Ahora tenemos la curva de velocidad contra tiempo y queremos el desplazamiento. Como solo tenemos una ecuación para encontrar la velocidad en base a la ecuación de posición haremos lo siguiente:

$v=\frac{dx}{dt}$

$vdt=dx$

$dx=vdt$

Integrando en ambos lados de la ecuación:

${\int }_{x_1}^{x_2}dx={\int }_{t_1}^{t_2}vdt$

${\overline{)x}}_{x_1}^{x_2}={\int }_{t_1}^{t_2}vdt$

$x_2-x_1={\int }_{t_1}^{t_2}vdt$

$∆x={\int }_{t_1}^{t_2}vdt$

Esta es la ecuación que utilizaremos para calcular el desplazamiento en base a la ecuación de velocidad que vamos a ir calculando

Vamos a identificar puntos de la gráfica de velocidad contra tiempo, que sean críticos. Éstos son aquellos donde la gráfica cambia bruscamente; por ejemplo A,B,C,D.

Analicemos los intervalos como si la gráfica fuera x-y:

A-B

A(0,0)..........$X_1=0.....Y_1=0$

B(8,32)........$X_2=8.....Y_2=32$

pendiente de la recta entre esos dos puntos:

$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{32-0}{8-0}=4$

Ecuación de la recta:

$y-y_1=m(x-x_1)$

$y-0=4(x-0)$

$y=4x$

Pero como la gráfica no es x-y, sino v-t, la ecuación sería....v=4t

$∆x_{A-B}={\int }_{t_1}^{t_2}vdt$

$∆x_{A-B}={\int }_{t=0}^{t=8}\left(4t\right)dt$

$∆x_{A-B}=4{\int }_{t=0}^{t=8}tdt$

$∆x_{A-B}={\overline{)4*\frac{t^2}{2}}}_0^8$

$∆x_{A-B}=4*\frac{8^2}{2}-4*\frac{0^2}{2}$

$∆x_{A-B}=128m$

B-C

B(8,32)..........$X_1=8.....Y_1=32$

C(20,32)........$X_2=20.....Y_2=32$

pendiente de la recta entre esos dos puntos:

$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{32-32}{20-8}=0$

Ecuación de la recta:

$y-y_1=m(x-x_1)$

$y-32=0(x-8)$

$y-32=0$

$y=32$

Pero como la gráfica no es x-y, sino v-t, la ecuación sería....v=32

$∆x_{B-C}={\int }_{t_1}^{t_2}vdt$

$∆x_{B-C}={\int }_{t=8}^{t=20}32dt$

$∆x_{B-C}=32{\int }_{t=8}^{t=20}dt$

$∆x_{B-C}=32(20-8)$

$∆x_{B-C}=384m$

C-D

C(20,32)..........$X_1=20.....Y_1=32$

D(24,0)............$X_2=24.....Y_2=0$

pendiente de la recta entre esos dos puntos:

$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{0-32}{24-20}=\frac{-32}{4}=-8$

Ecuación de la recta:

$y-y_1=m(x-x_1)$

$y-32=-8(x-20)$

$y-32=-8x+160$

$y=-8x+160+32$

$y=-8x+192$

Pero como la gráfica no es x-y, sino v-t, la ecuación sería....v= -8t+192

$∆x_{C-D}={\int }_{t_1}^{t_2}vdt$

$∆x_{C-D}={\int }_{t=20}^{t=24}(-8t+192)dt$

$∆x_{C-D}={\int }_{t=20}^{t=24}-8tdt+{\int }_{t=20}^{t=24}192dt$

$∆x_{C-D}=-8{\int }_{t=20}^{t=24}tdt+192{\int }_{t=20}^{t=24}dt$

$∆x_{C-D}={\overline{)(-8*\frac{t^2}{2}+192t)}}_{20}^{24}$

$∆x_{C-D}=(-8*\frac{{\left(24\right)}^2}{2}+192(24\left)\right)-(-8*\frac{{\left(20\right)}^2}{2}+192(20\left)\right)$

$∆x_{C-D}=64m$

Finalmente, al observar la gráfica e identificar que

$∆x={\int }_{t_1}^{t_2}vdt$

representa también el área bajo la curva de velocidad versus tiempo (v-t) que es justamente la que tenemos, entonces, se pueden calcular los desplazamientos, simplemente como las áreas debajo de cada sección. Asi:

Desplazamiento entre A-B

Área A1 (verde) =base x altura/2= 8x32/2 =128 m

Desplazamiento entre B-C

Área A2 (celeste) =base x altura= 12x32 =384 m

Desplazamiento entre C-D

Área A3 (amarilla) =base x altura/2= 4x32/2 =64 m

(comparemos los resultados obtenidos por integración y veremos que obtuvimos exactamente lo mismo)

Conclusión: el concepto de integral definida de la matemática, representa el área bajo la curva entre los límites de la integral y por tanto, si se puede calcular las áreas utilizando fórmulas geométricas como la del tríángulo, el rectángulo, y otras figuras, podemos facilitar el trabajo en Física.

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