Una partícula se mueve de acuerdo con la ecuación de posición:

$x=2t^3+5t^2-6t+12$

donde x está en metros y t en segundos.

Calcule:

a) la velocidad promedio entre t=0 y t=3 segundos

b) la velocidad instantánea en t=0, t=1, t=2, t=3 segundos

c) la aceleración promedio entre t= 1 y t=3

d) la aceleración promedio entre t=0 y t=3

e) la aceleración instantánea en t=0, t=1 y t=2

solución:

a) t=0.............$x_1=2{\left(0\right)}^3+5{\left(0\right)}^2-6\left(0\right)+12=12m$

t=3.............$x_2=2{\left(3\right)}^3+5{\left(3\right)}^2-6\left(3\right)+12=93m$

$\overline{v}=\frac{∆x}{∆t}=\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}=\frac{93m-12m}{3s-0s}=\frac{81m}{3s}=27m/s$

b) $v=\frac{dx}{dt}=6t^2+10t-6$

para t=0......$v=6{\left(0\right)}^2+10\left(0\right)-6=-6m/s$

para t=1......$v=6{\left(1\right)}^2+10\left(1\right)-6=10m/s$

para t=2......$v=6{\left(2\right)}^2+10\left(2\right)-6=38m/s$

para t=3......$v=6{\left(3\right)}^2+10\left(3\right)-6=78m/s$

c)

para t=1......$v=6{\left(1\right)}^2+10\left(1\right)-6=10m/s$

para t=3......$v=6{\left(3\right)}^2+10\left(3\right)-6=78m/s$

$\overline{a}=\frac{∆v}{∆t}=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}=\frac{78m/s-10m/s}{3s-1s}=\frac{68m/s}{2s}=34m/s^2$

d) para t=0......$v_1=6{\left(0\right)}^2+10\left(0\right)-6=-6m/s$

para t=3......$v_2=6{\left(3\right)}^2+10\left(3\right)-6=78m/s$

$\overline{a}=\frac{∆v}{∆t}=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}=\frac{78m/s-(-6m/s)}{3s-0s}=\frac{84m/s}{3s}=28m/s^2$

e) $v=6t^2+10t-6$

$a=\frac{dv}{dt}=12t+10$

t=0.........$a=12\left(0\right)+10=10m/s^2$

t=1.........$a=12\left(1\right)+10=22m/s^2$

t=2.........$a=12\left(2\right)+10=34m/s^2$

Analicemos otro ejemplo del mismo caso:

En la gráfica se muestra la curva de velocidad, respecto del tiempo, cuando una partícula se mueve en la dirección del eje x. Encuentra la aceleración promedio:

a) entre t=0 y t=5

b) entre t=5 y t=8

Observando la información de la gráfica:

a) t=0...................$v_1=22m/s$

t=5...................$v_2=28m/s$

$\overline{a}=\frac{∆v}{∆t}=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}=\frac{28m/s-22m/s}{5s-0s}=\frac{6m/s}{5s}=1.2m/s^2$

b) t=5...................$v_1=28m/s$

t=8...................$v_2=19m/s$

$\overline{a}=\frac{∆v}{∆t}=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}=\frac{19m/s-28m/s}{8s-5s}=\frac{-9m/s}{3s}=-3m/s^2$

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