Ejemplo 3

Sobre el cubo de lado a actúa una fuerza P, como se muestra en la figura. Determine el momento de P: a) con respecto a A, b) con respecto a la arista AB y c) con respecto a la diagonal AG del cubo; con el resultado de inciso c), determine la distancia perpendicular entre AG y FC.


  SOLUCIÓN  

a) Momento con respecto a A. Al seleccionar los ejes x, y y z como se muestra en la figura, la fuerza P y el vector , trazado desde A hasta el punto de aplicación de F de P, se descomponen en sus componentes rectangulares:

El momento de P con respecto a A es igual a:

b) momento con respecto a AB. Proyectando  a MA sobre AB, se escribe:

Se verifica que, como AB es paralela al eje x, MAB también es componente del momento MA.

c) Momento con respecto a la diagonal AG. El momento de P con respecto a AG, se obtiene proyectando a MA sobre AG. Denotando con λ el vector unitario a lo largo de AG, se tiene:

Método alternativo. El momento de P con respecto a AG también se puede expresar en forma de determinante:

Este determinante lo podemos resolver por cualquiera de los métodos conocidos. Así, obtenemos:

 

d) distancia perpendicular entre AG y FC. Primero se observa que P es perpendicular a la diagonal AG. Esto se puede comprobar con el producto escalar P.λ y verificar que dicho producto es igual a cero:

Entonces el momento AG puede ser expresado como -Pd, donde d es la distancia perpendicular desde AG hasta FC. (El signo negativo se usa puesto que, para un observador ubicado en G, la rotación impartida al cubo por P tiene el sentido del movimiento de las manecillas de reloj.) Recordando el valor encontrado para MAG en el inciso c) se tiene: